בגרות 482 חורף 2024 – שאלה 3חקירת פונקציות טריגונומטריות 571 · שיעור 32

בגרות 482 · חורף 2024 · שאלה 3

שיעור 32 – בגרות 482 חורף 2024 – שאלה 3

פרק 3 – 10 בגרויות 482: חקירת פונקציה טריגונומטרית (שאלה 3)

1נוסח השאלה

2סעיף א – נקודות קיצון

3סעיף ב – הערך של a

4סעיף ג – סקיצה

5סעיף ד – שטח

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = cos(2x) + 6sin x + a , a הוא פרמטר.

הפונקציה f(x) מוגדרת בתחום 0 ≤ x ≤ 2π .

א. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבעו את סוגן (הביעו את תשובותיכם באמצעות a , אם יש צורך).

נתון כי הישר y = 6 משיק לגרף הפונקציה f(x) בנקודת המקסימום המוחלט שלה.

ב. מצאו את הערך של הפרמטר a .

📄 נוסח השאלה · המשך

ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x) (הפונקציה f(x) חותכת את ציר ה־x בשתי נקודות).

ד. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x) , על ידי הישר y = 6 ועל ידי ציר ה־y .

סעיף א – נקודות קיצון

הנגזרת – גוזרים כל איבר בנפרד:

[cos(2x)]′ = −2sin(2x)

📐 נגזרת של קוסינוס (פונקציה מורכבת)

(6sin x)′ = 6cos x

📐 נגזרת של סינוס

הנגזרת של a היא 0.

📐 נגזרת של קבוע

f′(x) = −2sin(2x) + 6cos x

משווים את הנגזרת ל־0. באיבר הראשון יש זווית 2x ובשני זווית x . כדי שתהיה אותה זווית ונוכל להוציא גורם משותף, נפתח את sin(2x) :

📐 נגזרת של קוסינוס (פונקציה מורכבת)

[cos(ax)]′ = −a · sin(ax)

📐 נגזרת של סינוס

(sin x)′ = cos x

📐 נגזרת של קבוע

הנגזרת של מספר קבוע (גם של פרמטר) היא 0

סעיף א – נקודות קיצון · המשך

−2sin(2x) + 6cos x = 0

📐 נקודת קיצון

−2 · sin(2x) + 6cos x = 0

נציב sin(2x) = 2sin x cos x :

📐 סינוס של זווית כפולה

−2 · 2sin x cos x + 6cos x = 0

−4sin x cos x + 6cos x = 0

📐 נקודת קיצון

בנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0

📐 סינוס של זווית כפולה

sin(2x) = 2 sin x · cos x

סעיף א – נקודות קיצון · המשך

−4sin x cos x + 6cos x = 0

בשני האיברים יש 2cos x – מוציאים גורם משותף:

2cos x(−2sin x + 3) = 0

מכפלה שווה 0, לכן cos x = 0 או −2sin x + 3 = 0 .

📐 מכפלה שווה 0

אפשרות 1: cos x = 0 . הזווית שהקוסינוס שלה 0 היא π2 :

x = π2 + 2πk

📐 פתרון המשוואה cos x = cos t

📐 מכפלה שווה 0

מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0

📐 פתרון המשוואה cos x = cos t

x = t + 2πk
x = −t + 2πk

סעיף א – נקודות קיצון · המשך

x = π2 + 2πk

📐 פתרון המשוואה cos x = cos t

x = −π2 + 2πk

בתחום 0 ≤ x ≤ 2π : מהמשפחה הראשונה עם k = 0 , ומהשנייה עם k = 1 :

x = π2 , x = −π2 + 2π = 3π2

אפשרות 2:

−2sin x + 3 = 0

📐 פתרון המשוואה cos x = cos t

x = t + 2πk
x = −t + 2πk

סעיף א – נקודות קיצון · המשך

−2sin x + 3 = 0

sin x = 32

אין פתרון, כי הסינוס תמיד בין −1 ל־1, ו־32 > 1 .

קביעת סוג הנקודות – נציב בנגזרת מספר מכל תחום:

f′(π4) = 2cos π4(−2sin π4 + 3)

f′(π4) ≈ 2.24 > 0

סעיף א – נקודות קיצון · המשך

f′(π4) ≈ 2.24 > 0

f′(π) = 2cos π(−2sin π + 3)

f′(π) = 2 · (−1) · 3 = −6 < 0

f′(7π4) = 2cos 7π4(−2sin 7π4 + 3)

f′(7π4) ≈ 6.24 > 0

סעיף א – נקודות קיצון · המשך

שיעור ה־y של כל נקודה – מציבים בפונקציה עצמה. נכתוב את הפונקציה:

f(x) = cos(2x) + 6sin x + a

נציב x = 0 :

f(0) = cos(2 · 0) + 6sin 0 + a

f(0) = 1 + 0 + a = 1 + a

סעיף א – נקודות קיצון · המשך

f(0) = 1 + 0 + a = 1 + a

נציב x = π2 :

f(π2) = cos(2 · π2) + 6sin π2 + a

f(π2) = cos π + 6 · 1 + a = 5 + a

נציב x = 3π2 :

f(3π2) = cos(2 · 3π2) + 6sin 3π2 + a

סעיף א – נקודות קיצון · המשך

f(3π2) = cos(2 · 3π2) + 6sin 3π2 + a

f(3π2) = cos(3π) + 6 · (−1) + a

הזווית 3π היא π ועוד סיבוב שלם, ולכן cos(3π) = cos π = −1 :

f(3π2) = −1 − 6 + a = −7 + a

נציב x = 2π :

f(2π) = cos(2 · 2π) + 6sin 2π + a

סעיף א – נקודות קיצון · המשך

f(2π) = cos(2 · 2π) + 6sin 2π + a

f(2π) = cos(4π) + 0 + a = 1 + a

✅ פתרון סופי:
מינימום קצה: (0 , 1 + a)
מקסימום: (π2 , 5 + a)
מינימום: (3π2 , −7 + a)
מקסימום קצה: (2π , 1 + a)

סעיף ב – הערך של a

יש שתי נקודות מקסימום: (π2 , 5 + a) ו־(2π , 1 + a) . מכיוון ש־5 + a > 1 + a , המקסימום המוחלט הוא (π2 , 5 + a) .

הישר y = 6 משיק לגרף בנקודה זו, ולכן שיעור ה־y שלה הוא 6:

5 + a = 6

a = 1

✅ פתרון סופי: a = 1

סעיף ג – סקיצה

נציב a = 1 בשיעורי הנקודות מסעיף א:

1 + a = 1 + 1 = 2

5 + a = 5 + 1 = 6

−7 + a = −7 + 1 = −6

מינימום קצה (0 , 2) , מקסימום (π2 , 6) , מינימום (3π2 , −6) , מקסימום קצה (2π , 2) .

החיתוך עם ציר y הוא (0 , 2) . לפי הנתון, הגרף חותך את ציר x בשתי נקודות: פעם בירידה מ־6 ל־−6 , ופעם בעלייה מ־−6 ל־2.

סעיף ג – סקיצה · המשך

החיתוך עם ציר y הוא (0 , 2) . לפי הנתון, הגרף חותך את ציר x בשתי נקודות: פעם בירידה מ־6 ל־−6 , ופעם בעלייה מ־−6 ל־2.

מחברים לפי הציר: עולה, יורדת, עולה.

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ד – שטח

הישר y = 6 משיק לגרף בנקודת המקסימום (π2 , 6) . השטח נמצא בין ציר y , שהוא הישר x = 0 , לבין x = π2 – מתחת לישר ומעל הגרף:

בתחום הזה הישר y = 6 הוא העליון (6 הוא הערך הגדול ביותר של f), והגרף f(x) הוא התחתון.

השטח הוא האינטגרל של ההפרש בין העליון לתחתון.

📐 שטח בין שני גרפים

ההפרש בין הישר לגרף, אחרי פתיחת סוגריים:

6 − f(x) = 6 − cos(2x) − 6sin x − 1

📐 שטח בין שני גרפים

S = ∫ba[f(x) − g(x)] dx
f(x) – הגרף העליון , g(x) – הגרף התחתון

סעיף ד – שטח · המשך

6 − f(x) = 6 − cos(2x) − 6sin x − 1

6 − f(x) = 5 − cos(2x) − 6sin x

S = ∫π20(5 − cos(2x) − 6sin x) dx

פונקציה קדומה של כל איבר:

📐 פונקציה קדומה

נקרא לפונקציה הקדומה G(x) :

G(x) = 5x − 12sin(2x) + 6cos x

📐 פונקציה קדומה

∫k dx = kx + C
∫cos(ax) dx = 1asin(ax) + C
∫sin x dx = −cos x + C

סעיף ד – שטח · המשך

G(x) = 5x − 12sin(2x) + 6cos x

S = G(π2) − G(0)

נציב x = π2 (הגבול העליון) בכל איבר:

5 · π2 = 5π2

12sin(2 · π2) = 12sin π = 0

6cos π2 = 6 · 0 = 0

סעיף ד – שטח · המשך

6cos π2 = 6 · 0 = 0

G(π2) = 5π2 − 0 + 0 = 5π2

נציב x = 0 (הגבול התחתון) בכל איבר:

5 · 0 = 0

12sin(2 · 0) = 12sin 0 = 0

6cos 0 = 6 · 1 = 6

סעיף ד – שטח · המשך

6cos 0 = 6 · 1 = 6

G(0) = 0 − 0 + 6 = 6

השטח = הגבול העליון פחות הגבול התחתון:

S = 5π2 − 6 ≈ 1.85

✅ פתרון סופי: S = 5π2 − 6 ≈ 1.85

📌 סיכום התשובות

סעיף א

מינ. קצה (0 , 1 + a) , מקס. (π2 , 5 + a) , מינ. (3π2 , −7 + a) , מקס. קצה (2π , 1 + a)

סעיף ב

a = 1

סעיף ג

סקיצה

סעיף ד

S = 5π2 − 6 ≈ 1.85

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא